内容

目次

第１部　面積とはなにか 第１章 素朴な面積の理論 　１　ジョルダンによる面積の定義 　２　ジョルダンの意味で面積が測定できない図形 第２章 ルベーグの意味の面積 　１　有限の世界と無限の世界 　２　ルベーグによる面積の定義 第３章 面積を測定できる図形とルベーグ測度 　１　ルベーグ測度の完全加法性 　２　どのような図形がルベーグ可測か 　３　外測度が∞の図形のルベーグ可測性について 第４章 ルベーグ測度の代数的および幾何的性質 　１　ルベーグ可測集合族の代数と等測包 　２　ルベーグ測度の平行移動と回転不変性について 第５章 カラテオドリによるルベーグ可測性の特徴づけ 第６章 d 次元ルベーグ測度 第２部　ルベーグ積分 第７章 ルベーグ可測関数 　１　ルベーグ可測関数の定義と性質 　２　可測関数の単関数による近似 第８章 ルベーグ積分 　１　ルベーグ積分の定義 　２　「ほとんどすべての点で成り立つ」という考え方 第３部　ルベーグ積分の重要な定理 第９章 ルベーグの収束定理 第10章 ルベーグ積分とＬP 空間 　１　ＬP 不等式 　２　バナッハ空間とＬP 空間 第11章 フビニの定理 　１　フビニの定理 　２　フビニの定理の応用例 第４部　ルベーグ測度0の不思議な図形とハウスドルフ次元 第12章 無視できない測度０の図形——カントル集合 　１　カントル集合 　２　カントルの悪魔の階段 　３　正方形を埋め尽くすほとんどいたるところ微分可能な曲線 第13章 不思議な測度０の図形——ベシコヴィッチ集合 　１　ベシコヴィッチ集合と実解析学 　２　ペロンの木によるベシコヴィッチ集合の構成 第14章 ハウスドルフ測度 　１　曲線の長さ 　２　曲線の長さを測定できる１次元ハウスドルフ測度 　３　１次元ハウスドルフ測度では測れない曲線 　４　s次元ハウスドルフ外測度 　５　Ｒd 上のs次元ハウスドルフ外測度 第15章 ハウスドルフ次元 　１　ハウスドルフ次元 　２　さまざまな図形のハウスドルフ次元 　３　定理15.6の証明 　４　アフィン変換とベシコヴィッチ集合 第16章 発展的なトピックス——掛谷予想とブルガン予想 　１　掛谷集合 　２　ブルガン予想 付録 Ａ　実数の基本的な性質 Ｂ　有界閉集合 Ｃ　p 進小数 Ｄ　可算集合、非可算集合、カントルの定理 Ｅ　図形の収束 Ｆ　ジョルダン可測性の定義について G ルベーグ積分に関するいくつかの定理 Ｈ　抽象的積分論