楕円曲線論は代数学、幾何学、解析学および整数論を融合させた理論である。
本書は基礎理論構築のため、その相互関係を重視し、専門課程の学部学生に現代数学の統一性を認識する機会を提供する。同時に、大学のカリキュラムに通常含まれる手法と結果のみを用いるよう、あらゆる努力を尽くした。
形式ばらない読みやすさや豊富な演習量から、ディオファントス方程式や数論幾何学を学びたい学生には理想的な入門書である。具体的には、楕円曲線とは三次多項式のゼロを2つの変数に代入したものである。多項式が有理係数をもつ場合、その座標が整数か有理数であるゼロの説明を求めることができる。
本書の主題は数論的問題である。
取り上げるテーマは次の通りである。
・楕円曲線の幾何学および群構造
・有限位数の点を説明するNagell–Lutzの定理
・有理点群の有限生成に関するMordell–Weilの定理
・一連の整数点の有限性に関するThue–Siegelの定理
・有限体の座標で点を数える定理
・Lenstraの楕円曲線法による因数分解アルゴリズム
・虚数乗法やねじれ点に関するガロア表現に関する考察
第2版に追加した新たなテーマは、楕円曲線暗号システム入門、楕円曲線を利用したWilesらによるフェルマーの最終定理に関する驚くべき証明の短い考察である。