はじめてのルベーグ積分
寺澤 順 著
内容
目次
第0章 高校以来の積分 第1章 ルベーグの考え方 第2章 準備 集合について 像と逆像 上限・下限 vs 最大値・最小値 上極限・下極限 単調列 無限個を数える 有理数・無理数の分布 ε-δ法とリーマン積分 第3章 外測度 開集合と閉集合 外測度 外測度0の集合 カントール集合 第4章 測度、可測集合、可測関数 定義と基本性質 測度の性質 可測関数 例:境界の測度 可測でない集合 補足:選択公理について 第5章 単純関数とそのルベーグ積分 単純関数 単純関数のルベーグ積分 「ほとんど至るところで」という発想 悪魔の階段 可測集合・可測関数に関する反例 第6章 ルベーグ積分 定義 ルベーグ積分の性質 項別積分定理 例:悪魔の階段の積分 第7章 リーマン積分との関係 復習 階段関数 リーマン積分可能とは何か 広義積分の場合 補足:区間の分割を等分とすることについて 第8章 微分積分学の基本定理 有界変動・絶対連続 ヴィターリの被覆定理 ディニ導関数 単調関数は微分可能である 微分積分学の基本定理(ルベーグ・バージョン) 第9章 ルベーグ積分のその後 定義(新リーマン積分) 微分積分学の基本定理(新リーマン積分) 今後は? 問題の略解
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