目次

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 What is a time series? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Time series versus iid data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Typical assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1 Fundamental properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.1 Ergodic property with a constant limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Strict Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.3 Weak Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 Weak stationarity and Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.5 Ergodic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.6 Sufficient conditions for the a.s. ergodic property with a constant limit. . . . . . . . . . . 262.1.7 Sufficient conditions for the L2-ergodic property with a constant limit . .. . . . .. . . 272.2 Specific assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.1 Gaussian processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.2 Linear processes in L2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Linear processes with E(X2t ) = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.4 Multivariate linear processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.5 Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6 Restrictions on the dependence structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Defining probability measures for time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1 Finite dimensional distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Transformations and equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Conditions on the expected value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Conditions on the autocovariance function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.1 Positive semidefinite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.2 Spectral distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.3 Calculation and properties of F and f . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Spectral representation of univariate time series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Harmonic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Extension to general processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.1 Stochastic integrals with respect to Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.2 Existence and definition of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.3 Interpretation of the spectral representation . . . . . . . . . . . . . . 974.4 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.1 Relationship between ReZ and ImZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.2 Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.3 Overtones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.4 Why are frequencies restricted to the range [-π,π]? . . . . . . . 1004.5 Linear filters and the spectral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5.1 Effect on the spectral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.5.2 Elimination of Frequency Bands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075 Spectral representation of real valued vector time series . . . . . . . . . . . . 1095.1 Cross-spectrum and spectral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Coherence and phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166 Univariate ARMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 Stationary solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.3 Causal stationary solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4 Causal invertible stationary solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.5 Autocovariances of ARMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5.1 Calculation by integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.5.2 Calculation using the autocovariance generating function . . . 1356.5.3 Calculation using the Wold representation . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5.4 Recursive calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.5.5 Asymptotic decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.6 Integrated, seasonal and fractional ARMA and ARIMA processes . . 1476.6.1 Integrated processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6.2 Seasonal ARMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6.3 Fractional ARIMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7 Unit roots, spurious correlation, cointegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597 Generalized autoregressive processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.1 Definition of generalized autoregressive processes . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2 Stationary solution of generalized autoregressive equations . . . . . . . . 1647.3 Definition of VARMA processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.4 Stationary solution of VARMA equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.5 Definition of GARCH processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.6 Stationary solution of GARCH equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.7 Definition of ARCH(∞) processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.8 Stationary solution of ARCH(∞) equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778 Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.1 Best linear prediction given an infinite past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.2 Predictability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.3 Construction of the Wold decomposition from f . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.4 Best linear prediction given a finite past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1909 Inference for  µ, γ and F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.1 Location estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.2 Linear regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3 Nonparametric estimation of γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.4 Nonparametric estimation of f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21110 Parametric estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.1 Gaussian and quasi maximum likelihood estimation . . . . . . . . . . . . . . 22710.2 Whittle approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22910.3 Autoregressive approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23210.4 Model choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245