著者紹介

内容

目次

第1章 方程式の歴史をめぐる冒険 　2次方程式を最初に解いたのは古代バビロニア人 　2次方程式に解が2つあることはインド人が発見した 　3次方程式の舞台はイタリアになった！ 　秘密の必殺技はなぜ漏れたのか？ 　4次方程式にも悲劇の歴史が 　方程式と対称性の関係に気づいた人々 　悲運の数学者アーベル 　天才ガロアの登場 　ガロアの前代未聞の発想 第2章 2次方程式でガロア理論をざっくり理解 　飽和した数の世界 　ルート数の作る体 　分母の有理化が役に立った！ 　有理数の拡大体はいろいろある 　ベクトル空間という見方 　２次拡大の２次拡大は４次拡大 　体Kをかき混ぜる 　体Q(ルート2)の自己同型は2種類ある 　体をベクトル空間と見ると同型写像はどうなる? 　体Q(ルート2)の自己同型は他にもあるか？ 　2次方程式でガロアのアイデアをかいつまもう 　2次方程式の解から代数体を作ろう 　2次体の自己同型を突き止めよう 　自己同型を突き詰めていくと解の公式が得られる！ 第3章 「動き」の代数学?群とは何か 「群」という発想 　入れ替え操作から群を作る 　あみだクジが生み出す群 　群を正式に定義しよう 　あみだクジの秘密 　有限群とお近づきになろう 　まずは、非常にシンプルでばかばかしい例 　図形の対称性は群の源だ 　群は、私たちの実生活でも役に立っている！ 　Column　ガロアの別定理〈前編〉 第4章 群は対称性の表現だ?部分群とハッセ図 　群のおなかの中の小さな群 　正方形の対称操作の群の部分群をすべてみつけよう 　巡回群という特別な群 　ハッセ図とは、部分群の家系図 　部分群を使って群全体を分類する 　区分けした領域が再び群の構造を持つことがある 第5章 空想の数の理想郷?複素数 　負数とその平方根 　3次方程式の解法がタブーを突破した 　虚数単位iは、どっちがどっち？ 　虚数単位から体を作ろう 　空想の理想郷?複素数 　複素数を目に見えるようにする 　1のべき根の作る美しい図形 　べき根を付け加えた体はどんな体か 第6章 3次方程式が解けるからくり 　3次方程式の解の公式 　3次方程式の解の公式を学校で教わらない理由 　フォンタナは3次方程式の解の公式をどうやって見つけたか 　3次方程式はなぜ解けるのか 　3次方程式の解の作る代数体の自己同型 　体Kの自己同型の群とその部分群たち 　ガロアの発見した部分群と固定体との対応 　固定体Mの自己同型はどんな群？ 　ハッセ図から解の公式へ 　Column　ガロアの別定理〈後編〉 第7章 5次以上の方程式が解けないからくり 　ガロアの成し遂げたこと 　ガロアの定理の証明：超ざっくり版 　ガロアの定理の証明：簡易版 「それなり版証明」を開始しよう 　４次方程式で具体例を見てみよう 　自己同型写像を全部求める 　自己同型群の解への作用 　中間体を見つけよう 　ガロアの基本定理1の証明 解けない方程式の「からくり」はこうだ（それなり版証明） x^5?10x+5=0が解けない理由 　６次以上の方程式にも解けないものがある 　解ける方程式の「からくり」はこうだ 第8章 ガロアの群論のその後の発展 　ガロアの発想は数学の最先端へ 　こんがらがった紐の理論?基本群 　曲面の上でのループの群を考える 　ポアンカレ予想を解決したペレルマン 　繰り返し模様の幾何学 　箱と包み紙の幾何学 　トーラス面の被覆空間 　被覆空間の基本群 　被覆空間の基本群は元の空間の基本群の部分群になる！ 　被覆空間にもガロアが降臨する 　微分方程式のガロア理論 補足章 あとがき 参考文献、かつ、お勧めの本 索引