内容

目次

序論　微分方程式とは何か 微積分の泉 積分計算 微分方程式とその解 微分方程式の分類 階数1の常微分方程式 偏微分方程式 解法の工夫の数々 積分計算におけるパラドックス 原石の宝庫 第I部　常微分方程式 第1章　変数変換の工夫と同次形の微分方程式 問題1.1（変数変換）dy + y dx = dx + x dx 問題1.2（リッカチの微分方程式．m = -2の場合）dz + z2 dx = (a dx/x2) 問題1.3（同次形の微分方程式）x dx + y dy = my dx 問題1.4（同次形の微分方程式）x dx + y dy = x dy - y dx 問題1.5（同次形の微分方程式）x dy - y dx = √(x2 + y2) dx 問題1.6（変数変換により同次形に変形される微分方程式）(α + βx + γy) dx = (δ + εx + ζy) dy 問題1.7（dy + Py dx = Q dx という形の微分方程式）dy + y dx = xn dx 問題1.8（dy + Py dx = Q dx という形の微分方程式）(1 - x2) dy + xy dx = a dx 問題1.9（dy + Py dx = Q dx という形の微分方程式）dy + (ny dx)/(√(1 + x2)) = a dx 問題1.10（変数変換の工夫）(y - x) dy = (n(1 + y2) √(1 + y2) dx)/(√(1 + x2)) 第2章　リッカチの微分方程式 オイラーの2論文 問題2.1（リッカチの微分方程式）dy + y2 dx = axm dx 第3章　全微分方程式（2変数の場合） 全微分方程式の視点から 問題3.1　(αx + βy + γ) dx + (βx + δy + ε) dy = 0 問題3.2　dy/y = (x dy - y dx)/(y √(x2 + y2)) 問題3.1と問題3.2の解法を顧みて 問題3.3　(a2 + 2xy + x2) dx + (x2 + y2 - a2) dy = 0 問題3.4（乗法子の探索）αy dx + βx dy = 0 問題3.5（乗法子の探索）(xy)/(x2 + y2) dx - dy = 0 問題3.6（問題1.6再論．乗法子の探索）(αx + βy + γ) dx + (δx + εy + ζ) dy = 0 問題3.7（問題1.10再論．乗法子の探索）(n(1 + y2) √(1 + y2) dx)/(√1 + x2) + (x - y) dy = 0 問題3.8（リッカチの微分方程式．m = -4の場合．再論．乗法子の探索）dy + y2 dx - (a dx)/(x4) = 0 第4章　非常に複雑な微分方程式 微分と微分の比を新たな変数と見る 問題4.1　x3 dx3 + dy3 = ax dx2dy 問題4.2　y dx - x√(dx2 + dy2) = 0 問題4.3　y dx - x dy = nx√(dx2 + dy2) 問題4.4　x dy3 + y dx3 = √(xy(dx2 + dy2)) dydx 問題4.5　s2 = 2xy (s = ∫√(dx2 + dy2)) 問題4.6　s = αx + βy (s = ∫√(dx2 + dy2)) 問題4.7　s2 = x2 + y2 (s = ∫√(dx2 + dy2)) 問題4.8　y dx - x dy = a√(dx2 + dy2) 問題4.9　y dx - x dy = a 3√(dx3 + dy3) 問題4.10　(y - (x dy)/(dx))(y - (x dy)/(dx) + (2a dy)/(dx)) = c2 問題4.11　y dx - x dy + b dy = √(a2 ds2 - b2 dx2) 問題4.12　(y dx - x dy)(y dx - x dy + 2b dy) = c2 ds2 問題4.13　y dx - x dy = (a(dx2 + dy2))/(dx) 第5章　微分方程式の特異解 特異解（一般解に含まれない解）を語る．―オイラーの論文[E236]より 問題5.1　√(x2 + y2 - a2) dy = x dx + y dy 問題4.8再考 問題4.10再考 問題5.2（リッカチの微分方程式の特異解）dy + y2 dx - (a dx)/(x4) = 0 問題5.3　dy = √(y) dx 問題5.4　ay dy - ax dx = √(y2 - x2) dx 第6章　階数2の微分方程式 二つの変化量の間の2階微分方程式 問題6.1　a d2y = dxdy 問題6.2　((dx2 + dy2) √(dx2 + dy2))/(-dxd2y) = a 問題6.3　(dsdy)/(d2x) = (a dx)/(dy) 問題6.4　d2y = αxn dx2 問題6.5　a2 d2y = y dx2 問題6.6　a2 d2y + y dx2 = 0 問題6.7　√(ay) d2y = dx2 問題6.8　d2y(y dy + a dx) = (dx2 + dy2) dy 問題6.9　(dsdy)/(d2x) = a arctan (dy)/(dx) 第II部　偏微分方程式 第1章　全微分方程式（3変数の場合） 全微分方程式 全微分方程式の可解条件 問題1.1（解をもたない微分方程式）z dx + x dy + y dz = 0 問題1.2　2(y + z) dx + (x + 3y + 2z) dy + (x + y) dz = 0 問題1.3　(y + z) dx + (x + z) dy + (x + y) dz = 0 問題1.4　(y2 + yz + z2) dx + (z2 + xz + x2) dy + (x2 + xy + y2) dz = 0 第2章　2変数関数の探求 問題2.1　(∂2z)/(∂x2) = (xy)/(a) 問題2.2　(∂2z)/(∂x2) = ((2nx)/(x2 + y2))・((∂z)/(∂x)) + (x)/(ay) 問題2.3　(∂2z)/(∂x∂y) = ((y)/(x2 + y2))・((∂z)/(∂x)) + (a)/(x2 + y2) 問題2.4　((∂z)/(∂x))・((∂z)/(∂y)) = 1 問題2.5　((∂z)/(∂x))2 + ((∂z)/(∂y))2 = 1 問題2.6　((∂z)/(∂x))3 + x3 = 3((∂z)/(∂x))・((∂z)/(∂y))・x 問題2.7　(∂z)/(∂y) = (((x)/(y))・((∂z)/(∂x))) + ((y)/(x)) 問題2.8（弦の振動方程式）(∂2z)/(∂y2) = a2・((∂2z)/(∂x2))（a は定量）