内容

目次

はじめに数学基礎論と不完全性定理宴のあと本書の目標と構成謝辞第1章　序：物語の起源1.1　数学の危機1.2　三つの思想1.3　「不安の時代」の終焉と不完全性定理1.4　再思三考：数学と哲学第2章　命題論理2.1　命題論理の論理式と理論2.2　真理値2.3　命題結合子の論理的公理と推論規則2.4　演繹定理と無矛盾性2.5　命題論理の完全性定理2.6　コンパクト性定理その他第3章　述語論理3.1　述語・関係・集合3.2　述語論理の論理式と理論3.3　構造3.4　量化子と等号の論理的公理と推論規則3.5　初等的同値と初等的図式3.6　述語論理の完全性定理3.7　コンパクト性定理その他第4章　算術と集合論4.1　自然数の集合の特徴付け4.2　Peano 算術4.3　算術の標準モデルと超準モデル4.4　Zermelo-Fraenkel 集合論4.5　集合による自然数の表現4.6　Skolem の逆理第5章　計算可能性5.1　原始再帰的関数5.2　再帰的関数とChurch-Turing の提唱5.3　再帰的集合5.4　再帰的可算集合5.5　Gödel 数と述語論理の算術化5.6　万能Turing 機械と再帰定理第6章　定義可能性と表現可能性6.1　算術のΣ1 完全性6.2　関数と集合の定義可能性6.3　可証再帰性6.4　集合の弱表現可能性6.5　集合の表現可能性6.6　関数の表現可能性第7章　不完全性定理7.1　不完全性定理への序7.2　可証性述語と対角化定理7.3　第一不完全性定理7.4　可導性条件7.5　第二不完全性定理7.6　Rosser の定理7.7　不完全性定理の数学的意義第8章　幾つかの話題8.1　Hilbert のプログラム8.2　現実的な証明とGödel の加速定理8.3　算術の超準モデル8.4　可述的な自然数論と限定算術8.5　整数・有理数・実数8.6　Kolmogorov 複雑性8.7　不完全性定理の有限的性質第9章　跋：形式主義のふたつのドグマ9.1　神聖な論理と世俗的な論理9.2　経験主義者の亡霊9.3　机の上の白い豆9.4　隠れた次元9.5　数学的無垢9.6　金槌で板を切る9.7　関係の代数学9.8　ドグマなき形式主義おわりに数学としての数学基礎論の誕生壮大な循環論法と小さな寓話読書案内参考文献