内容

目次

第1章 級数展開 1.1 級数による数の表現 　1.1.1 無限級数 　1.1.2 無限級数の値 1.2 級数の収束判定法 　1.2.1 ダランベルトの判定式 　1.2.2 絶対収束 1.3 級数を用いた関数の表現 　1.3.1 関数項級数 　1.3.2 関数項級数の和 　1.3.3 一様収束 1.4 ベキ級数を用いた関数の表現 　1.4.1 テイラー展開 　1.4.2 ベキ級数の収束半径 　1.4.3 ベキ級数の性質 　1.4.4 テイラー展開の例 第2章 フーリエ解析 2.1 フーリエ級数 　2.1.1 フーリエ級数展開 　2.1.2 三角関数の直交性 　2.1.3 直交関数展開の展開係数 　2.1.4 フーリエ展開係数 2.2 フーリエ級数の収束性 　2.2.1 フーリエ級数の各点収束 　2.2.2 パーセバルの等式 　2.2.3 フーリエ級数の積分と微分の収束性 2.3 様々なフーリエ級数 　2.3.1 偶関数と奇関数のフーリエ級数 　2.3.2 複素フーリエ級数展開 　2.3.3 周期Lの周期関数のフーリエ級数展開 2.4 非周期関数のフーリエ級数展開とフーリエ変換 2.5 フーリエ変換 2.6 フーリエ変換の完全性 2.7 ガウス関数のフーリエ変換 2.8 フーリエ変換と不確定性原理 2.9 デルタ関数 　2.9.1 デルタ関数の性質 　2.9.2 デルタ関数の表現 2.10 微分のフーリエ変換 2.11 畳み込み積分 第3章 フーリエ変換を用いた微分方程式の解法 3.1 強制振動 　3.1.1 外力がないときの解 　3.1.2 外力があるときの解 3.2 熱伝導 　3.2.1 熱伝導方程式の導出 　3.2.2 無限に長い1次元棒の熱伝導 　3.2.3 有限の長さの1次元棒の熱伝導 第4章 ラプラス変換 4.1 ラプラス変換の定義 4.2 ラプラス変換の性質 　4.2.1 ラプラス変換の線形性 　4.2.2 導関数のラプラス変換 　4.2.3 積分のラプラス変換 4.3 ラプラス変換を用いた微分方程式の解法 第5章 級数展開による微分方程式の解法 5.1 解が正則な場合 5.2 解に特異点がある場合 第6章 ベッセル関数 6.1 2次元極座標系でのラプラシアン 6.2 極座標でのヘルムホルツ方程式 6.3 ベッセル関数のベキ級数展開 6.4 円形膜(太鼓) の振動 　6.4.1 振動が円対称になっている場合 　6.4.2 振動が円対称になっていない場合 6.5 ベッセル関数の母関数 6.6 ガンマ関数 6.7 nが任意の実数の場合のベッセル関数 6.8 第2種，第3種のベッセル関数 6.9 ベッセル関数の漸化式 6.10 ベッセル関数の漸近形 6.11 球ベッセル関数 第7章 ルジャンドル関数 7.1 ルジャンドルの微分方程式 7.2 ルジャンドル関数とルジャンドル多項式 7.3 ルジャンドル多項式の具体的な表式とロドリグの公式 7.4 ルジャンドル多項式の母関数 7.5 ルジャンドル多項式の直交性 7.6 ルジャンドル多項式の応用:ラプラス方程式 7.7 ルジャンドルの陪微分方程式 7.8 ルジャンドル陪関数 7.9 ルジャンドル陪関数の直交性 7.10 球面調和関数 7.11 球面調和関数の直交性 第8章 エルミート多項式 8.1 調和振動子 8.2 エルミート多項式 8.3 エルミート多項式の母関数 8.4 エルミート多項式の直交性 8.5 エルミート多項式の漸化式 付録A 微分方程式と解のまとめ A.1 本書で扱った主な微分方程式 A.2 微分方程式と解の関係 A.3 ヘルムホルツ方程式の一般解の各座標系での表現 参考文献 問題の解答 索引