内容

目次

序文 第1章　予備的な話題のポプリ 1.1 定義，公理，そして証明とは何だろうか？ 1.2 生活の指針とすべき数学的信条 1.3 数理論理学と証明の技巧をほんの少し 1.4 集合論をほんの少し 1.5 関数 1.6 同値関係 1.7 数学的帰納法 1.8 数論をほんの少し 1.9 組合せ論をほんの少し 演習問題 第2章　群――第1部 2.1 群への導入 2.2 抽象群 2.3 群のおもしろい例 2.4 群準同型写像 2.5 部分群，剰余類，ラグランジュの定理 2.6 群の積 演習問題 第3章　環――第1部 3.1 環への導入 3.2 抽象的な環と環準同型写像 3.3 環のおもしろい例 3.4 重要で特別な環 3.5 単元群と環の積 3.6 イデアルと剰余環 3.7 素イデアルと極大イデアル 演習問題 第4章　ベクトル空間――第1部 4.1 ベクトル空間への導入 4.2 ベクトル空間と線形変換 4.3 ベクトル空間のおもしろい例 4.4 基底と次元 演習問題 第5章　体――第1部 5.1 体への導入 5.2 抽象的な体と準同型写像 5.3 体のおもしろい例 5.4 部分体と拡大体 5.5 多項式環 5.6 拡大体の構成 5.7 有限体 演習問題 第6章　群――第2部 6.1 正規部分群と剰余群 6.2 集合への群作用 6.3 軌道固定部分群の数え上げ定理 6.4 シローの定理 6.5 2つの数え上げ補題 6.6 両側剰余類とシローの定理 演習問題 第7章　環――第2部 7.1 既約元と一意分解整域 7.2 ユークリッド整域と単項イデアル整域 7.3 単項イデアル整域での因子分解 7.4 中国の剰余定理 7.5 分数体 7.6 多変数多項式と対称式 演習問題 第8章　体――第2部 8.1 代数的数と超越数 8.2 多項式の根と乗法的な部分群 8.3 分解体，分離性，既約性 8.4 有限体再訪 8.5 ガウスの補題とアイゼンシュタインの既約性判定法 8.6 定規とコンパスによる作図 演習問題 第9章　ガロア理論：体＋群 9.1 ガロア理論とは何か？ 9.2 多項式と体の拡大の復習 9.3 代数的数の体 9.4 代数閉体 9.5 体の自己同型写像 9.6 分解体――第1部 9.7 分解体――第2部 9.8 原始元定理 9.9 ガロア拡大 9.10 ガロア理論の基本定理 9.11 応用：代数学の基本定理 9.12 有限体のガロア理論 9.13 ガロア拡大のたくさんの同値な言い換え 9.14 円分体とクンマー体 9.15 応用：冪根による方程式の非可解性 9.16 体の自己同型写像の線形独立性 演習問題 第10章　ベクトル空間――第2部 10.1 ベクトル空間の準同型写像（またの名を線形写像） 10.2 自己準同型写像と自己同型写像 10.3 線形写像と行列 10.4 部分空間と剰余空間 10.5 固有値と固有ベクトル 10.6 行列式 10.7 行列式，固有値，特性多項式 10.8 無限次元ベクトル空間 演習問題 第11章　加群――第1部：環＋ベクトルのようなものの空間 11.1 加群とは何か？ 11.2 加群の例 11.3 部分加群と剰余加群 11.4 自由加群と有限生成加群 11.5 準同型写像，自己準同型写像，行列 11.6 ネーター環と加群 11.7 ユークリッド整域に成分を持つ行列 11.8 ユークリッド整域上の有限生成加群 11.9 構造定理の応用 演習問題 第12章　群――第3部 12.1 置換群 12.2 ケーリーの定理 12.3 単純群 12.4 組成列 12.5 自己同型群 12.6 半直積 12.7 有限アーベル群の構造 演習問題 第13章　加群――第2部：多重線形代数 13.1 多重線形写像と多重線形形式 13.2 対称ならびに交代形式 13.3 自由加群上の交代形式 13.4 行列式写像 演習問題 第14章　追加の話題を手短に 14.1 可算集合と非可算集合 14.2 選択公理 14.3 テンソル積と多重線形代数 14.4 可換代数 14.5 圏論 14.6 グラフ理論 14.7 表現論 14.8 楕円曲線 14.9 代数的整数論 14.10 代数幾何学 14.11 ユークリッド格子 14.12 非可換環 14.13 数理暗号 演習問題 シラバスの例 訳者あとがき 記号一覧 図一覧 索引