内容

目次

　まえがき １　対称性と機械学習への誘い 　1. 1 対称性とは 　1. 2 対称性と幾何 　1. 3 対称性と物理法則 　1. 4 関数と対称性 　1. 5 機械学習における入力に対する不変性の例 　　　コラム 1. 1 連続的に変化する入力に対する予測タスクに不変性が求められる 　　　コラム 1. 2 完全ではないが対称性が一部成り立つ現実のデータを扱う 　1. 6 同変性 　1. 7 変換情報の保持と対称性 　1. 8 無限の変換をどのように扱うのか 　1. 9 群・表現 　1. 10 作用と表現 　1. 11 位相群とリー群 　1. 12 機械学習とは 　1. 13 帰納バイアス 　1. 14 データオーグメンテーション 　1. 15 もつれを解いた表現と対称性 　1. 16 各章の構成 　第1章のまとめ ２　群・表現論 　2. 1 群の導入 　2. 2 同型写像・準同型写像 　2. 3 部分群 　2. 4 剰余類 　2. 5 正規部分群・商群 　2. 6 作用 　2. 7 作用の例 　2. 8 群の表現 　2. 9 リー群 　　2. 9. 1 滑らかな群と線形代数 　　2. 9. 2 指数写像 　　2. 9. 3 リー群 　　　コラム 2. 1 ロドリゲスの回転公式 　2. 10 リー代数 　　2. 10. 1 リー代数 　　2. 10. 2 リー群とリー代数の関係 　　2. 10. 3 曲線上の指数写像 　　2. 10. 4 リー群の準同型写像 　第2章のまとめ ３　対称性を備えた関数 　3. 1 対称性を備えた関数 　3. 2 ニューラルネットワークとは 　3. 3 ニューラルネットワークへの対称性の導入 　3. 4 G不変な仮説空間 　3. 5 軌道・軌道集合 　3. 6 軌道集合を用いた仮説空間 　3. 7 商仮説空間 　3. 8 等質空間 　3. 9 安定部分群 　3. 10 等質空間と商空間 　3. 11 写像の持ち上げと射影 　3. 12 畳み込みと群畳み込み 　3. 13 群畳み込みは同変性を備える 　3. 14 等質空間の同変性 　3. 15 特徴マップ 　3. 16 一般化群畳み込み演算 　3. 17 一般化群畳み込みの問題点 　第3章のまとめ ４　対称性を備えたニューラルネットワーク 　4. 1 並進群の特徴マップ上での作用 　4. 2 並進同変と畳み込みの同値性 　4. 3 畳み込みニューラルネットワーク 　　4. 3. 1 並進同変であるバイアス加算 　　4. 3. 2 並進同変である要素ごとの非線形活性化関数 　4. 4 アフィン群同変な畳み込みニューラルネットワーク 　4. 5 アフィン群による作用 　4. 6 アフィン群の表現 　4. 7 積み重ねられた特徴マップ 　4. 8 アフィン群同変ニューラルネットワーク 　4. 9 アフィン群同変であるバイアス加算や非線形活性化関数 　4. 10 G同変写像の求め方 　第4章のまとめ ５　リー群に同変な関数の設計 　5. 1 対称性をもつ関数の設計 　5. 2 群の分解 　5. 3 リー群の単位元成分の生成 　5. 4 リー群の単位元成分による剰余類分解 　5. 5 誘導された群作用 　5. 6 リー代数の作用 　5. 7 リー微分 　5. 8 安定化群のリー代数の特徴づけ 　5. 9 リー群に対し同変となる必要十分条件 　5. 10 線形層での同変性導入 　5. 11 実際の数値計算 　5. 12 制約の構造を使った効率的な計算手法 　5. 13 クリロフ法を使った核の効率的な推定方法 　5. 14 特徴マップ間の同変な線形写像 　5. 15 力学系における対称性と保存則 　5. 16 対称性の促進 　5. 17 対称性の促進：離散群の場合 　5. 18 対称性の促進：連続群の場合 　第5章のまとめ ６　クリフォード代数にもとづく対称性 　6. 1 クリフォード代数 　6. 2 幾何積 　6. 3 グレード・ブレード・マルチベクトル 　6. 4 グレード射影 　6. 5 幾何積による内積とウェッジ積の統一 　6. 6 マルチベクトルがもつ幾何的な意味 　6. 7 マルチベクトルと幾何 　6. 8 双対化演算 　6. 9 Pin群，Spin群 　6. 10 バーサーによる作用 　6. 11 射影幾何代数 　6. 12 代数幾何におけるユークリッド同変写像 　第6章のまとめ Appendix Ａ　群・表現論の補足情報 　A. 1 準同型定理 　A. 2 群作用の全単射性 　A. 3 正則表現 　A. 4 正則表現の分解 　A. 5 交絡作用素 　A. 6 部分表現，既約表現 Ｂ　行列とベクトル操作について 　　参考文献 　　索　引