永長　直人（著者）：東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻教授。

微分幾何学とトポロジーのいくつかの重要なテーマを微積分や線形代数、ベクトル解析などを前提として，直観的な理解や応用に重点をおき解説している。第１章では微分幾何学の基本的な道具である微分形式を導入する。第２章では直観が働きやすい曲線と曲面の微分幾何学を議論する。第３章では図形の一般化である多様体とその構造を導入し、第４章では多様体上の微分形式の積分としてStokesの定理を一般化する。第５章では、多様体の大域的性質を調べるホモロジーとコホモロジーについて述べ、代数学と微分構造の密接な関係を学ぶ。第６章では、多様体ファイバー束とその大域的な性質を特徴付ける特性類を調べる。第７章では、量子力学でも重要な指数定理とMorse理論を解説する。第８章では、もう一つの幾何学における代数的手法であるホモトピー理論の初歩について固体物理学の例を通して学ぶ。第９章ではカタストロフィー理論を紹介する。