小形　正男 　著

目次

編集にあたって まえがき ポイント1 多変数関数とはどんなものか 関数，函数/多変数関数の登場/2変数関数の絵を描こう/等高線と俯瞰図の例/峠の関数/3変数関数/等関数面/4変数関数/n変数関数/熱力学関数/ベクトル値関数 ポイント2 多変数関数の微分は偏微分 多変数の傾きとは？/偏微分の定義/偏微分の書き表し方/偏導関数/偏微分を計算しよう/合成関数も偏微分しよう/偏微分の現れる例/高次の偏微分/偏微分の順序について/偏微分順序が交換できない例/C1，C∞級は怖くない/偏微分の合成則/極座標での偏微分 ポイント3 全微分は関数の微小変化分 関数の局所的性質/関数の変化分/多変数関数の変化分/関数の変化分の一般式を求めよう/全微分可能と偏微分可能/全微分，登場/2変数関数の方向微分係数/偏導関数から作ったベクトル:gradient/最大傾斜角/接平面/接平面であることのチェック/接するとは数学的にどう表現されるか/接平面の例/法線ベクトル ポイント4 多変数テイラー展開を駆使する テイラー展開とは/関数の近似/テイラー展開の例/x0のまわりでのテイラー展開/多変数関数のテイラー展開/テイラー展開と全微分の関係/多変数関数の極大・極小・鞍点/テイラー展開を用いた関数の極値問題/ヘッシアンによる関数の極大・極小の判別/等高線を描いてみよう:主軸変換/もっと多変数の場合の極値 ポイント5 忘れてならないヤコビアン 多変数積分とヤコビアン/1変数関数の定積分は面積である/2重積分は体積となる/積分可能性/2重積分を計算しよう/積分順序の交換は可能か？/積分変数の変換/ヤコビアンの出現/忘れてならないヤコビアン/ヤコビアンの導出/ヤコビアンを用いた例/極座標変換/極座標変換を使うと計算が極端に楽である/n変数ヤコビの行列/多変数積分の変数変換公式/3次元極座標への変換公式/広義の多重積分 ポイント6 積分経路に依存する線積分 線積分とは/線積分の定義/線積分の基本的な性質/線積分は積分経路によって値が変わる/パラメータ積分に換える/線積分を実行する/積分経路に依存する積分値/曲線の長さを求めよう/ベクトルの線積分/ベクトルの線積分のもう1つの表し方/力の仕事と線積分/保存力の場合，線積分はポテンシャルで書ける/線積分の不定積分？/ポテンシャルの例/エネルギー保存則/一般のベクトル場とポテンシャル/ベクトル場からスカラーポテンシャルを作れるか？ ポイント7 面積分をマスターしよう 面積分とは/面積分を一言でいうと/面積分の定式化/xとyの通常の2重積分に変更する/ベクトルの外積/面積分を計算してみよう/面積分を用いて，曲面の面積を求める/一般的なパラメータ積分に換える/ベクトルの面積分/ベクトルの面積分を2重積分の形にする/ベクトルの面積分の別の表し方 ポイント8 究極の定理，ストークスの定理 究極の定理とは/ガウスの定理/発散の別の表し方/divの意味/div(発散)のある場合とない場合の例/ガウスの定理の意味するところ/積分による証明/ガウスの定理の実際/ストークスの定理/rot Aとベクトルの外積の関係/rotの意味するところ/ストークスの定理の幾何学的解釈/流れの回転の具体例/ストークスの定理の数学的証明/ストークスの定理の実際/グリーンの定理 ポイント9 ラグランジュの未定乗数法 条件つきの極値問題/ラグランジュの未定乗数法/なぜラグランジュの未定乗数法を使うのか/逆関数/2変数の場合の逆関数/陰関数/陰関数定理を作る/多変数の陰関数定数/条件つきの極大・極小/ラグランジュの未定乗数法/付帯条件が2つある場合のラグランジュの未定乗数法/微分法の最高度の技法 あとがき さくいん