堀内　利郎 　著

内容

目次

第I部　古典的不等式への誘い 第1章　1次元ハーディ不等式 　1.1　ハーディ不等式の登場 　1.2　重み付きハーディ・ソボレフ不等式 　1.3　p＝1 の場合のハーディ・ソボレフ不等式 　1.4　ヘルダーとミンコフスキー 　1.5　付録：定理1.2.3 と定理1.2.4 との証明 第2章　よみがえる古典的不等式たち 　2.1　高次元ハーディ不等式 　2.2　ソボレフ不等式 　2.3　古典的重み付きソボレフの不等式 　2.4　臨界と非臨界不等式の統一に向けて 　2.5　等周不等式 　2.6　レリッヒ型不等式 　2.7　超関数の意味の不等式 第II部　古典的不等式の精密化に向けて 第3章　片側境界条件のハーディ不等式 　3.1　片側境界条件の1次元の古典的ハーディ不等式 　3.2　冪型と指数関数型の重み付きハーディ不等式への拡張 第4章　ソボレフ不等式(p＝1)と等周不等式の同値性 　4.1　関数解析学からの準備2 　4.2　ソボレフの不等式の証明(p＝1のとき) 第5章　ポワンカレ型不等式と球内の等周不等式 　5.1　ソボレフ不等式の別証明 　5.2　関数解析学からの準備3 　5.3　球におけるポワンカレ不等式 　5.4　球におけるポワンカレ不等式の応用 第6章　関数の球対称減少再構成について 　6.1　一般の密度関数に関する関数の球対称減少再構成 　6.2　許容関数に関する関数の球対称減少再構成 　6.3　関数の球対称減少再構成の連続性について 　6.4　余面積公式と球対称減少再構成 Rf[u](x) の関係 　6.5　写像 u↦Rf[u] の縮小性 　6.6　付録：命題6.5.1の証明 第7章　関数の球対称減少再構成の応用 　7.1　ソボレフ不等式(p＞1)の厳密な証明 　7.2　レリッヒ不等式と球対称減少再構成の関係 第8章　古典的不等式のミッシング・ターム 　8.1　古典的ハーディ不等式のミッシング・ターム 　8.2　任意有限個のミッシング・ターム 　8.3　定理8.2.1の証明 　8.4　その他の古典的不等式のミッシング・タームの例 第III部　等周不等式による古典的不等式の精密化 第9章　重み付きソボレフ不等式の精密化 　9.1　 重み付きソボレフ空間の定義 　9.2　閉集合Fに関する性質P(s) 　9.3　性質P(s)を満たす例と注意 　9.4　重み付きソボレフ不等式と重み付き等周不等式 　9.5　重み付きソボレフ不等式と重み付き等周不等式の同値性 　9.6　重み付きソボレフ不等式の仮定の必要性 　9.7　定理9.4.2（重み付き等周不等式）の証明 　9.8　付録 第IV部　ミッシング・タームの発見による精密化 第10章　古典的ハーディ不等式の精密化 　10.1　イントロダクション 　10.2　関数空間の準備1 　10.3　主要な結果 　10.4　定理10.3.1の証明 　10.5　精密化ハーディ・ソボレフ不等式の変分問題への応用 第11章　古典的レリッヒ不等式の精密化 　11.1　イントロダクション 　11.2　精密化レリッヒ不等式の変分問題への応用 第V部　CKN 型不等式の新しい定式化による精密化 第12章　古典的CKN型不等式の新しい定式化 　12.1　古典的CKN型不等式との関係 　12.2　準備 　12.3　非臨界な場合の主要な結果 　12.4　臨界の場合の主要な結果 　12.5　付録：積型のCKN型不等式 第13章　CKN型不等式(p＝1)と対称性の破れ 　13.1　CKN型不等式(p＝1)と重み付き等周不等式の同値性 　13.2　対称性の破れ(p＝1) 　13.3　付録：対称性の破れについて（p＝2 の場合） 第VI部　無限次の爆発や退化を許容する重みの導入による精密化 第14章　1次元ハーディ不等式の精密化 　14.1　準備 　14.2　第1段階の精密化と定理3.2.1と定理3.2.2の証明 　14.3　定理14.2.1の証明 　14.4　さらなる精密化 第15章　境界型の高次元ハーディ不等式の精密化 　15.1　イントロダクション 　15.2　変分問題への応用 　15.3　定理15.2.1の証明のスケッチ 　15.4　付録：補足15.2.1の主張(1)と主張(2)の証明の概要 第16章　CKN型不等式の精密化(p＞1) 　16.1　イントロダクション 　16.2　CKN型不等式における臨界と非臨界の不思議な関係 　16.3　主要な結果 　16.4　定理16.3.2の証明 　16.5　定理16.3.3の証明 　16.6　付録：1次元のCKN型不等式(16.3.7)の初等的証明 第17章　CKN型不等式の精密化(p＝1) 　17.1　イントロダクション 　17.2　準備 　17.3　n次元の結果 　17.4　定理17.3.2の証明 　17.5　定理17.3.3の証明 　17.6　付録：CKN型不等式(p＞1)における極限操作 p→1