内容

目次

まえがき 第I部 1 曲線論曲面論に必要な基本事項 1. 1 ベクトルと行列 1. 2 行列式とトレース 1. 3 等長変換と運動 1. 4 行列の指数関数 まとめ 問 題 2 平面曲線 2. 1 平面曲線とは 2. 2 平面曲線のフレネセレ枠と曲率 2. 3 曲率円と曲がり方 2. 4 平面曲線の基本定理 まとめ 問 題 3 平面曲線の性質 3. 1 閉曲線の回転数 3. 2 4頂点定理 3. 3 全曲率とフェンチェルの定理 まとめ 問 題 4 空間曲線 4. 1 空間曲線のフレネセレ枠とフレネセレの公式 4. 2 空間曲線の基本定理 4. 3 曲率と捩率の公式 4. 4 空間曲線のフェンチェルの定理 まとめ 問 題 5 曲面の位相 5. 1 集合と位相の復習 5. 2 曲面とは 5. 3 単体分割とオイラー数 5. 4 曲面の三角形分割 5. 5 曲面の連結和と位相的分類 5. 6 オイラー数と種数(1) まとめ 問 題 6 曲面の局所理論 6. 1 曲面の計量と第1基本形式 6. 2 第2基本形式 6. 3 曲面の曲がり方の導入 6. 4 オイラーの考えたガウス曲率 6. 5 測地的曲率と法曲率 6. 6 主曲率，ガウス曲率と平均曲率の計算 まとめ 問 題 7 曲面の曲がり方 7. 1 曲面の形状とガウス曲率の符号 7. 2 座標変換 7. 3 面積要素と面積 7. 4 ガウス写像とワインガルテン写像 7. 5 計量ベクトル空間の対称変換 7. 6 定曲率曲面 まとめ 問 題 8 古典的手法† 8. 1 クリストッフェル記号 8. 2 曲面論の基本定理(1) 8. 3 添え字の法則 まとめ 問 題 9 微分形式を用いて 9. 1 微分形式，外微分 9. 2 ポアンカレの補題 9. 3 正規直交動枠の導入 9. 4 接続と第1構造式 まとめ 問 題 10 曲面論の基本定理 10. 1 曲面の第2構造式 10. 2 ガウスの驚愕定理 10. 3 マイナルディコダッチ方程式 10. 4 曲面論の基本定理(2) まとめ 問 題 11 ガウスボンネの定理 11. 1 線積分と面積分 11. 2 ストークスの定理 11. 3 ガウスボンネの定理(1) 11. 4 ガウスボンネの定理(2) まとめ 問 題 12 曲面上の曲線 12. 1 最短線と測地線 12. 2 最短線は測地線 12. 3 測地線は一つとは限らない まとめ 問 題 13 計量の幾何と双曲平面 13. 1 共変微分と測地線 13. 2 内在的性質，外来的性質 13. 3 双曲平面 13. 4 双曲平面の測地線 まとめ 問 題 14 様々な幾何 14. 1 非ユークリッド幾何学 14. 2 三角形の内角の和 14. 3 リーマン幾何学 14. 4 ミンコフスキー空間 まとめ 問 題 15 発展† 15. 1 向き付け不可能な曲面 15. 2 向き付け不可能な閉曲面の分類 15. 3 オイラー数と種数(2) 15. 4 多様体とポアンカレ予想 まとめ 問 題 第II部 16 フビニスタディ計量 16. 1 球面の立体射影 16. 2 球面上の距離:フビニスタディ計量 16. 3 三角関数と双曲線関数 17 ポアンカレ計量 17. 1 ポアンカレ円板とケーリー変換 17. 2 回転双曲面と立体射影 17. 3 回転双曲面上の距離とポアンカレ計量 第16章と17章のまとめ 18 基本群と被覆空間 18. 1 単連結性と基本群 18. 2 被覆空間 18. 3 普遍被覆空間 18. 4 曲面の普遍被覆空間 18. 5 等長変換，共形変換，ケーベの一意化定理 18. 6 対称性と群作用 まとめ 19 変分問題の導入 19. 1 測地線と変分問題 19. 2 極小曲面と変分問題 19. 3 調和写像と変分問題 まとめ 付 録 A. 1 曲線の長さ A. 2 固有値，実対称行列，2次形式 A. 3 平坦領域の勾配ベクトル場と発散定理 A. 4 曲面上の発散定理 A. 5 ガウスコダッチ方程式の別証明 A. 6 可積分系理論への入り口 問題の略解 関連図書 索 引